$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n^n}{n!}$ toplamının yakınsaklığı

Question

$$\sum_{n=1}^\infty  \dfrac{n^n}{n!}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

Answer 1

Fikir:
Toplamın terim limiti $\infty$ olduğundan, yani $0$ olmadığından, sonuca ıraksaklık testi ile varabiliriz.

---

---

Terim için bir alt sınır:
Toplam içerisindeki terime baktığımızda, her $n$ pozitif tam sayısı için, \begin{align*}\dfrac{n^n}{n!}=\dfrac n1\cdot \left(\dfrac n2\cdot \dfrac n3\cdots \dfrac nn\right)\ge n\end{align*} eşitsizliği sağlanır.

Terim limiti:
Bu eşitsizlik sağlandığından ve $\lim\limits_{n\to \infty} n= \infty$ olduğundan, limitin baskınlık özelliği gereği, $$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{n^n}{n!}=\infty$$ sağlanır.

Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti sıfır olmadığından, ıraksaklık testi gereği, $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n^n}{n!}$$ toplamı ıraksar.

Answer 2

Fikir: 
Oran testi ile sonuca varmaya çalışacağız.

---

---

Tanımlama:
$a_n=\dfrac{n^n}{n!}$ olarak tanımlayalım.

Oran limiti:
Oran testi için limit alırsak \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| \ &= \ \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{\dfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^n}{n!}}\right|  \\[15pt] &=\ \lim_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^n}{n^n}  \\[15pt] &=\ \lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n \\[15pt] &=\ \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \\[15pt] &= \ e\end{align*} eşitligi sağlanır.

Toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu $>1$ olduğundan dolayı $$\sum_{n=1}^\infty  \dfrac{n^n}{n!}$$ toplamı, oran testi gereği, ıraksar.