Fikir:
Oran testi ile sonuca varmaya çalışacağız.
$a_n=\dfrac{n^e}{e^n}$ olarak tanımlayalım.
Oran limiti:
Oran testi için limit alırsak \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| &= \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{\dfrac{(n+1)^e}{e^{n+1}}}{\dfrac{n^e}{e^n}}\right| \\[15pt] &= \lim_{n\to\infty}\left[\dfrac{1}{e}\cdot\dfrac{(n+1)^e}{n^e}\right] \\[15pt] &= \lim_{n\to\infty}\left[\dfrac{1}{e}\cdot\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^e\right] \\[15pt] &= \lim_{n\to\infty}\left[\dfrac{1}{e}\cdot\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^e\right] \\[15pt] &= \dfrac{1}{e}\cdot(1+0)^e\\[15pt] &= \dfrac{1}{e}\end{align*} eşitligi sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu $<1$ olduğundan dolayı $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n^e}{e^n}$$ toplamı, oran testi gereği, yakınsar.