Fikir ve analiz:
- Toplamın terimlerini $n^{1/n}/\ln n$ dizisinin kuvvetleri
- ve bu dizinin limiti $0$.
- Kök testi uygulayarak sonuca ulaşabiliriz.
Kök testi için limit:
Toplamın genel terimine $a_n$ dersek, sonsuzda $n^{1/n}$ limiti $1$ olduğundan, \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}\ &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac n{\ln^n n}\right|^{1/n}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^{1/n}}{\ln n} \\[15pt] &\mathop{=}^{\left[\frac{\color{orange}1}\infty\right]} 0\end{align*} eşitliği sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limit değeri $<1$ olduğundan $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac n{\ln^n n}$$ toplamı, kök testi gereği, yakınsar.
İlgili limitin bulunması:
l'Hôpital kullanabilmek için diziyi pozitif gerçel sayılar üzerinde tanımlı doğal fonksiyona çevirelim.
Yöntem:
$\infty^0$ belirsizliği var. Fonksiyonun $\ln$ içindeki hali ile ilgilenelim ve $\exp$ fonksiyonunun sürekliliği ile asıl fonksiyonun limitini bulalım.
ln alma:
Fonkisyonun $\ln$ içerisindeki limitine bakarsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to \infty} \ln\left(x^{\frac1{x}}\right)&=\ \lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac1{x}\cdot \ln x\right) \\[17pt]&=\ \lim\limits_{x\to \infty}\frac{\ln x}{x} \\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]} \ \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{x^{-1}}{1}\\[17pt]&=\ \lim\limits_{x\to \infty}\frac1x\\[17pt]&= \ 0\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
exp alma:
$\exp$ fonksiyonu gerçel sayılar üzerinde, özel olarak $0$ noktasında, sürekli olduğundan \begin{align*}\lim\limits_{n\to \infty}n^{\frac1{n}}\ = \ \lim\limits_{x\to \infty}x^{\frac1{x}}\ &= \ \lim\limits_{x\to \infty}\exp\left[\ln \left(x^{\frac1{x}}\right)\right]\\[17pt] &=\ \exp(0)\\[17pt] &=\ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.