Fikir:
Oran testi ile sonuca varmaya çalışacağız.
Genel terimi $a_n$ olarak tanımlayalım.
Oran limiti:
Oran testi için limit alırsak \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| &= \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{\dfrac{((n+1)+2)!}{2^{n+1}\cdot (n+1)!}}{\dfrac{(n+2)!}{2^n\cdot n!}}\right| \\[15pt] &= \lim_{n\to\infty}\left(\frac12\cdot \dfrac{n+3}{n+1}\right) \\[15pt] &= \lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{2}\cdot\frac{1+\frac3n}{1+\frac1n}\right) \\[15pt] &= \dfrac{1}{2}\cdot \frac{1+0}{1+0}\\[15pt] &= \dfrac{1}{2}\end{align*} eşitligi sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu $<1$ olduğundan dolayı $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(n+2)!}{2^n\cdot n!}$$ toplamı, oran testi gereği, yakınsar.