Fikir:
Oran testi ile sonuca varmaya çalışacağız.
$a_n=\dfrac{n+3}{3^n}$ olarak tanımlayalım.
Oran limiti:
Oran testi için limit alırsak \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| &= \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{\dfrac{3+(n+1)}{3^{n+1}}}{\dfrac{3+n}{3^n}}\right| \\[15pt] &= \lim_{n\to\infty}\left(\frac13\cdot \dfrac{4+n}{3+n}\right) \\[15pt] &= \lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{3}\cdot\frac{\frac4n+1}{\frac3n+1}\right) \\[15pt] &= \dfrac{1}{3}\cdot \frac{0+1}{0+1}\\[15pt] &= \dfrac{1}{3}\end{align*} eşitligi sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu $<1$ olduğundan dolayı $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{3+n}{3^n}$$ toplamı, oran testi gereği, yakınsar.