Fikir:
Oran testi ile sonuca varmaya çalışacağız.
Genel terimi $a_n$ olarak tanımlayalım.
Oran limiti:
Oran testi için limit alırsak \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| &= \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{\dfrac{(n+1)^2\cdot 2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^2\cdot 2^n}{n!}}\right| \\[15pt] &= \lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{(n+1)^2}{n^2}\cdot 2\cdot \frac1{n+1}\right) \\[15pt] &= \lim_{n\to\infty}\dfrac{2n+2}{n^2} \\[15pt] &= \lim_{n\to\infty}\dfrac{2+\frac2n}{n} \\[15pt] &\mathop{=}^{\left[\frac{2+0}\infty\right]} 0\end{align*} eşitligi sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu $<1$ olduğundan dolayı $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n^2\cdot 2^n}{n!}$$ toplamı, oran testi gereği, yakınsar.