Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Toplamı basitleştirmek istersek paydaki en güçlü terim olan $n!$ ve
- paydadaki en güçlü terim olan $(n+1)!$ ile ilgilenmeliyiz.
- Bu toplamı $1/(n+1)$ terimli toplamla eş görebiliriz.
- Bu şekilde toplamı terimleri $1/n$ olan toplam ile ilişkilendirebiliriz.
Limit karşılaştırma testi:
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{1+n!}{(1+n)!}}{\dfrac1{n}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n\cdot(1+ n!)}{(n+1)!} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n\cdot(1+ n!)}{(n+1)\cdot n!} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{\dfrac1{n!}+1}{1+\dfrac1n}\\[15pt] &= \ \frac{0+1}{1+0}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
$p=1\le 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği ıraksaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1+n!}{(1+n)!}$$ toplamı, limit karşılaştırma testi gereği, ıraksak olur.