Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- $u$ sıfıra giderken $(\arctan u)/u$ limiti $1$ olduğundan
baştaki $\arctan$ ifadesini görmeden içerisindeki ifade ile ilgilenebiliriz.
Bu iç ifadeyi incelersek... - Pay $1$ olduğundan kendisi basit bir biçimde duruyor.
- Toplamı basitleştirmek istersek paydadaki en güçlü terim olan $n^7$ ile ilgilenmeliyiz.
- Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı terimleri $1/n^7$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.
Bu ilişkiyi tek adımda kurabilmek mümkün. Amacın anlaşılması üzerine iki adımda bakacağız.
Limite bakma 1:
Toplamımıza iç terimi $1/(n^7+\sqrt[7]n)$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamaya çalışalım. İç terimlerin limitini incelersek, $$\lim_{x\to 0} \dfrac{\arctan x}{x}=\lim_{x\to 0} \dfrac{\arctan x-\arctan 0}{x-0}=\arctan^\prime 0=\dfrac1{1+0^2}=1$$ olduğundan, \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \arctan\left(\dfrac{1}{n^7+\sqrt[3]{7}}\right)}{\dfrac{1}{n^7+\sqrt[3]{7}}} \ &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Limite bakma 2:
Toplamımıza iç terimi $1/n^7$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamaya çalışalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{1}{n^7+\sqrt[7]{n}}}{\dfrac1{n^7}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^7}{n^7+\sqrt[7]{n}} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{1+n^{-48/7}}\\[15pt] &= \ \frac{1}{1+0}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yaptığımız toplamın yakınsaklığı 1:
$p=7> 1$ olduğundan$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^7}$$ toplamı $p$-seri testi gereği yakınsaktır.
Karşılaştırma yaptığımız toplamın yakınsaklığı 2:
İkinci limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^7+\sqrt[7]{n}}$$ toplam, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Birinci limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \arctan\left(\frac{1}{n^7+\sqrt[7]{n}}\right)$$ toplam, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.