Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
- Toplamın kök içerisindeki terimini aynı payda altında toplayarak ya da (buna gerek duymadan)
toplanan terimin kök içerisindeki en baskın terin olan $1/\sqrt n$ ile ilgilenerek - toplamı $1/n^{1/4}$ terimli $p$-toplam ile ilişkilendirebiliriz.
Limit alma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^{1/4}$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım.
İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{\sqrt n}-\dfrac{1}{n}}}{\dfrac1{n^{1/4}}}&= \lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt n}}\\[15pt]&= \sqrt{1-0}\\[15pt]&= 1\end{align*}eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığısaklığı:
$p=1/4\le 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{1/4}}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği ıraksar.
Toplamın ıraksaklığı:
Bu toplam ıraksak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sqrt{\frac{1}{\sqrt n}-\frac{1}{n}}$$ toplamı ıraksak olur.