Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Toplamı basitleştirmek istersek paydaki en güçlü terim olan $n^{6/11}$ ve
- paydadaki en güçlü terim olan $n^{11/6}$ ile ilgilenmeliyiz.
- Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{85/66}}$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.
Limit karşılaştırma testi:
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^{85/66}$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{6+11n^{6/11}}{11+6n^{11/6}}}{\dfrac1{n^{85/66}}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{6n^{85/66}+11n^{11/6}}{11+6n^{11/6}} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{6n^{-6/11}+11}{11n^{-11/6}+6}\\[15pt] &= \ \frac{6\cdot 0+11}{11\cdot 0+6}\\[15pt] &= \ \dfrac{11}6\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=85/66> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{85/66}}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{6+11n^{6/11}}{11+6n^{11/6}}$$ toplamı, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.