Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Toplamı basitleştirmek istersek paydaki en güçlü terim olan $n!$ ve
- paydadaki en güçlü terim olan $(n+2)!$ ile ilgilenmeliyiz.
- Bu toplamı $1/(n+1)(n+2)$ terimli toplamla eş görebiliriz.
- Bu şekilde toplamı terimleri $1/n^2$ olan toplam ile ilişkilendirebiliriz.
Limit karşılaştırma testi:
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{2+n!}{(2+n)!}}{\dfrac1{n^2}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^2\cdot(2+n!)}{(n+2)!} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^2\cdot(2+n!)}{(n+1)(n+2)\cdot n!} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{\dfrac2{n!}+1}{\left(1+\dfrac1n\right)\left(1+\dfrac2n\right)}\\[15pt] &= \ \frac{0+1}{(1+0)(1+0)}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{2+n!}{(2+n)!}$$ toplamı, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.