Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Toplamı basitleştirmek istersek paydaki en güçlü terim olan $n^{5/7}$ ve
- paydadaki en güçlü terim olan $n^{7/5}$ ile ilgilenmeliyiz.
- Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{24/25}}$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.
Limit karşılaştırma testi:
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^{24/25}$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{1+n^{5/7}}{1+n^{7/5}} }{\dfrac1{n^{24/25}}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^{24/25}+n^{7/5}}{1+n^{7/5}} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^{-5/7}+1}{n^{-7/5}+1}\\[15pt] &= \ \frac{0+1}{0+1}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
$p=24/25< 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{24/25}}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği ıraksaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1+n^{5/7}}{1+n^{7/5}}$$ toplamı, limit karşılaştırma testi gereği, ıraksak olur.