Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- $u$ sıfıra giderken $(\sin u)/u$ limiti $1$ olduğundan
baştaki $\sin\sin$ ifadesini görmeden içerisindeki ifade ile ilgilenebiliriz.
Bu iç ifadeyi incelersek... - Payda olan $5^{1/n}$ sonsuzda limiti $1$ olan bir dizi ve
- paydada olan $n^2$ basit bir biçimde duruyor.
- Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı, basit hali ile,
- terimleri $1/n^2$ olan toplam ile ilişkilendirmiş oluruz.
Bu ilişkiyi tek adımda kurabilmek mümkün. Amacın anlaşılması üzerine iki adımda bakacağız.
Limite bakma 1:
Toplamımıza iç terimi $5^{1/n}/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek, $u$ sıfıra yaklaşırken $u^{-1}\sin u$ limiti $1$ olduğundan, \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{\sin\left(\sin\left( \frac{5^{1/n}}{n^2}\right)\right)}{\frac{5^{1/n}}{n^2}} \ &= \ \lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{\sin\left(\sin\left(\frac{5^{1/n}}{n^2}\right)\right)}{\sin\left( \frac{5^{1/n}}{n^2}\right)}\cdot \dfrac{\sin\left( \frac{5^{1/n}}{n^2}\right)}{\frac{5^{1/n}}{n^2}}\right) \\[15pt] &= \ 1 \cdot 1\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Limite bakma 2:
Toplamımıza iç terimi $1/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \frac{5^{1/n}}{n^2}}{\dfrac1{n^2}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}5^{1/n} \\[15pt] &= \ 5^0\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yaptığımız toplamın yakınsaklığı 1:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı, $p=2>1$ olduğundan, $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.
Karşılaştırma yaptığımız toplamın yakınsaklığı 2:
İkinci limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{5^{1/n}}{n^2}$$ toplam, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Birinci limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \sin\left(\sin\left(\frac{5^{1/n}}{n^2}\right)\right)$$ toplam, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.