Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
- Toplam terimleri pozitif olmadığından mutlağı ile ilgilenmeyi deneyebiliriz.
- Bu durumda payın mutlağı $2+1\cdot (\pi/2)$, ya da $4$, ile üstten sınırlı olur ve
- payda $n^5$ ifadesinden büyük olduğundan
- terimleri $4/n^5$ terimli yakınsak toplamdan küçük olan toplamla ilgilenmiş oluruz.
Mutlak alma ve üstten sınırlama:
$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere \begin{align*}0\le \left|\frac{2^{1/n}+\sin n\cdot \arctan n}{n^5+n+1}\right|\ &= \ \frac{\left| 2^{1/n}\right|+\left|\sin n\right|\cdot \left|\arctan n\right|}{n^5+n-1}\\[15pt] &\le \ \frac{2+1\cdot (\pi/2)}{n^5+n-1}\\[15pt] &\le \ \frac{4}{n^5+n-1} \\[15pt] &\le \ \frac{4}{n^5} \end{align*} eşitsizliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^5}$ toplamı, $p=5 > 1$ olduğundan, $p$-seri testi gereği yakınsaktır. Sıfır olmayan sabit ile çarpım yakınsaklığı değiştirmediğinden $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac4{n^5}$$ toplamı da yakınsar.
Mutlağının yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{2^{1/n}+\sin n\cdot \arctan n}{n^5+n+1}\right|$$ toplamı yakınsak olur.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{1/n}+\sin n\cdot \arctan n}{n^5+n+1}$$ toplamı, mutlak yakınsaklık savı gereği, yakınsak olur.