Question

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\arctan n}{n^2+1}$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

Answer 1

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:
Toplam terimini incelersek 

• payda bulunan $\arctan n$ sınırlı ve limit $\pi/2$ olan bir ifade ve
• paydasındaki en güçlü ifade ise $n^2$.
• Bu ilişkilendirme ile toplam limitsel olarak terimi $1/n^2$ olan toplam ile ilişkili olur.

---

---

Limit karşılaştırma testi:
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{\arctan n}{n^2+1}}{\dfrac1{n^2}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(\arctan n\cdot \frac{n^2}{n^2+1}\right) \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(\arctan n\cdot \frac{1}{1+n^{-2}}\right)\\[15pt] &= \ \frac\pi2\cdot \frac{1}{1+0}\\[15pt] &= \ \frac\pi2\end{align*} eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı, $p=2 > 1$ olduğundan,  $p$-seri testi gereği yakınsaktır.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\arctan n}{n^2+1}$$ toplamı, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.

Answer 2

Fikir:
Verilen toplamdaki terimlerin doğal fonksiyon halinin integralini almak mümkün. Bu nedenle verilen toplam için integral testini uygulayabiliriz. 

İntegral testini uygulayabilmek için
İlgili fonksiyonun, bir yerden sonra,
pozitif,
sürekli ve
azalan
olması gerekiyor.

Bu şartların sağlandığını göstermeden integral testini uygulayamayız.

---

---

Şartların sağlandığını gösterme:
İlgili fonksiyon:
Verilen toplamın terimlerini $[1,\infty)$ üzerinde $$f(x)=\frac{\arctan x}{x^2+1}$$ kurallı fonksiyon ile ilişkilendireceğiz.

Pozitiflik:
$x\ge 1$ için $\arctan x>0$ ve $x^2+1>0$ olduğundan $$\frac{\arctan x}{x^2+1}>0$$ olur.

Süreklilik:
$x\ge 1$ için $\arctan x$ ve $x^2+1$ fonksiyonları sürekli olduğundan (ve payda sıfır olmadığından) $$\frac{\arctan x}{x^2+1}$$ fonksiyonu sürekli olur.

Azalanlık:
Verilen fonksiyonun türevini alırsak, $x\ge 1$ değerleri için, $$f^\prime (x) \ = \ \dfrac{\dfrac{1}{x^2+1}\cdot (x^2+1)-\arctan x\cdot(2x)}{(x^2+1)^2} \ = \ \dfrac{1-2x\arctan x}{(x^2+1)^2}<0$$ eşitsizliği sağlanır ve $f$ fonksiyonu $[1,\infty)$ üzerinde azalan olur.

Açıklama: $x$ ve $\arctan x$ artan fonksiyonlar olduğundan, $x\ge 1$ için, $$2x\arctan x-1\ge 2\cdot 1 \cdot \arctan 1-1=\frac\pi2-1>0$$ eşitsizliği sağlanır.

Test için istenen şartlar sağlandığına göre integral testini uygulayabiliriz.

---

---

İntegral hesabı:
Belirsiz integral olarak elimizde \begin{align*}\int \frac{\arctan x}{x^2+1}\ dx \ &= \ \int u \ du \qquad\qquad\color{teal}{\begin{matrix}u\ &=\ &\arctan x \\[15pt] du \ &= \ &\dfrac1{x^2+1}\ dx \end{matrix}}\\[10pt] &= \ u^2+c\\[15pt] &= \ \arctan^2 x+c\end{align*} eşitliği var. Dolayısıyla \begin{align*}\int_1^\infty \frac{\arctan x}{x^2+1}\ dx \ &= \lim_{R \to \infty}\int_1^R \frac{\arctan x}{x^2+1}\ dx \\[25pt] &= \ \lim_{R \to \infty}\arctan^2 x \bigg|_1^R\\[25pt] &= \ \lim_{R \to \infty}(\arctan^2 R -\arctan^2 1)\\[25pt] &= \ \left(\frac\pi2\right)^2-\left(\frac\pi4\right)^2\end{align*} eşitliği sağlanır.

Toplamın yakınsaklığı:
İlişkili integralimiz yakınsak olduğundan, integral testi gereği, istenen $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\arctan n}{n^2+1}$$ toplamı da yakınsar.