Question

$$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ln\left(\dfrac{n^2+1}{n^2}\right)$$ toplamının yakınsaklığını inceleyiniz.

---

---

Ek: 

• Sorunun bir alt versiyonu olarak eşiti olan $$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ln\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)$$ toplamını ve 
• bir üst verisyonu olarak eşiti olan $$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\ln\left(n^2+1\right)-2\ln n\right)$$ toplamını düşünebilirsiniz.

Answer 1

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:

• Iraklıksaklık testinin işe yaramaması için iç terimin limiti $0$'a gitmeli,
  bu da $\ln$ içi limitin $1$ olması demek ki, zaten öyle. 
• Bu nedenle iç ifadeyi sıfır noktasındaki türevi kullanabilmek için $$\ln\left(1+\dfrac1{n^2}\right)$$ olarak yazalım.
   
• $n$ sonsuza giderken $1/n^2$ sıfıra sağdan yaklaşır.
• Bu nedenle $\ln(1+x)$ fonksiyonunun sıfır noktasındaki türevini düşünürsek
• sıfır noktasındaki $\ln(1+x)/x$ limiti $1$ olur.
• Bu da $1/n^2$ ile limit karşılaştırma testini uygulayabileceğimizi söyler.

---

---

Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^2$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \ln\left(1+\dfrac1{n^2}\right)}{\dfrac1{n^2}}\ &= \ \lim_{x \to \infty}\dfrac{ \ln\left(1+\dfrac1{x^2}\right)}{\dfrac1{x^2}} &&\text{diziden fonksiyona})\\[15pt] \ &= \ \lim\limits_{t \to 0^+}\dfrac{\ln(1+t)}{t}  &&(t=x^{-2})\\[15pt]&= \ \frac{1}{1+0} &&\left(\frac{d}{dx}(\ln(1+x))=\frac{1}{1+x}\right)\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı, $p=2> 1$ olduğundan,  $p$-toplam testi gereği yakınsar.

Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \ln\left(\dfrac{n^2+1}{n^2}\right)$$ toplamı, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.

Answer 2

Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız. 

Analiz:

• İç ifadeyi $$\ln\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)$$ olarak görüp $$\ln(1+x)\le x$$ eşitsizliğini kullanabilbiliriz.  
• Bu da yakınsak olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac1{n^2}$$ toplamı ile direkt karşılaştırma testini uygulayabileceğimizi söyler.

---

---

Direkt karşılaştırma testi için bir eşitsizlik:
Her $x>0$ için $\ln(1+x)\le x$ eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizliği kullanarak $$\ln\left(\dfrac{n^2+1}{n^2}\right)=\ln\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)\le \dfrac1{n^2}$$ eşitsizliğini elde ederiz.

Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı  $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.

Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ln\left(\dfrac{n^2+1}{n^2}\right)$$ toplamı yakınsak olur.

---

---

Ek:
Negatif olmayan gerçel sayılar üzerinde $f(x)=x-\ln (1+x)$ kurallı $f$ fonksiyonunu tanımlarsak $f(0)=0$ eşitliği ve \[f^\prime(x)=1-\frac1{x+1}\ge 0\] eşitsizliği sağlanır. Dolayısıyla her $x$ pozitif gerçel sayısı için \[x-\ln (1+x)\ge 0 \ \ \ \text{ yani}  \ \ \ \ln (1+x) \le x\]eşitsizliği sağlanır.