Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Her $n\ge \tan (3/2)$ pozitif tam sayısı için $$\arctan n\ge \arctan(\tan (3/2))=3/2$$ olduğundan istenilen toplamı yakınsak $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$$ toplamı ile (belirli bir yerden sonra) üstten sınırlamış oluruz.
Direkt karşılaştırma testi için aday:
$\arctan$ artan bir fonksiyon olduğundan her $n\ge \tan(3/2)$ pozitif tam sayısı için $$\arctan n\ge \arctan(\tan(3/2))=3/2$$ eşitsizliği sağlanır.
Ayrıca üssel fonksiyonlar ($a>1$ için $a^x$) artan olduğundan her $n\ge \tan(3/2)$ pozitif tam sayısı için $$0< n^{3/2} \le n^{\arctan n}$$ ve dolayısıyla $$0 <\dfrac1{n^{\arctan n}}\le \dfrac1{n^{3/2}}$$ eşitsizlikleri sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=3/2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{3/2}}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac1{n^{\arctan n}}$$ toplamı yakınsak olur.
Not:
$\arctan$ fonksiyonunun görüntü kümesi $(-\pi/2,\pi/2)$ olduğundan bu aralıkta olan $3/2$ ile kuvveti kıyasladık.