Fikir:
Toplamın terim limiti $1/6$ olduğundan, yani $0$ olmadığından, sonuca ıraksaklık testi ile varabiliriz.
Terim limiti:
Toplam içerisindeki terimin limitine baktığımızda, $1/n$ limiti $0$ olduğundan, \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{(n+1)(2n+1)}{(3n+1)(4n+1)} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\left(1+\frac1n\right)\cdot\left(2+\frac1n\right)}{\left(3+\frac1n\right)\cdot \left(4+\frac1n\right)} \\[17pt] &= \ \dfrac{(1+0)\cdot(2+0)}{(3+0)\cdot(4+0)} \\[17pt] &= \ \dfrac16\end{align*} eşitliği sağlanır.
Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti sıfırdan faklı olduğundan, ıraksaklık testi gereği,$$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(n+1)(2n+1)}{(3n+1)(4n+1)}$$ toplamı ıraksar.