Fikir:
Oran testi ile sonuca varmaya çalışacağız.
Tanımlama:
$a_n=\dfrac{n^{1234}\cdot 1234^n}{n!}$ olarak tanımlayalım.
Oran limiti:
Oran testi için limit alırsak \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| \ &= \ \lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{\dfrac{(n+1)^{1234}\cdot 1234^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^{1234}\cdot 1234^n}{n!}}\right) \\[15pt] &=\ \lim_{n\to\infty}\left(\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{1234}\cdot 1234\cdot \dfrac1{n+1}\right) \\[15pt] &=\ \lim_{n\to\infty}\left(\left(\dfrac{1+1/n}{1}\right)^{1234}\cdot 1234\cdot \frac1{n+1}\right) \\[15pt] &= 1^{1234}\cdot 1234\cdot 0 \\[15pt] &= 0\end{align*}eşitligi sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu $<1$ olduğundan dolayı $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n^{1234}\cdot 1234^n}{n!}$$ toplamı, oran testi gereği, yakınsar.