Fikir:
Oran testi ile sonuca varmaya çalışacağız.
Tanımlama:
$a_n=\dfrac{(2n)!\cdot (n+1)!}{(3n+1)!}$ olarak tanımlayalım.
Oran limiti:
Oran testi için limit alırsak \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| \ &= \ \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{\dfrac{(2(n+1))!\cdot ((n+1)+1)!}{(3(n+1)+1)!}}{\dfrac{(2n)!\cdot (n+1)!}{(3n+1)!}}\right| \\[25pt] &=\ \lim_{n\to\infty}\dfrac{(2n+1)(2n+1)\cdot (n+2)}{(3n+2)(3n+3)(3n+4)} \\[25pt] &=\ \lim_{n\to\infty}\dfrac{(2+1/n)(2+1/n)\cdot (1+2/n)}{(3+2/n)(3+3/n)(3+4/n)} \\[25pt] &=\ \dfrac{(2+0)(2+0)(1+0)}{(3+0)(3+0)(3+0)} \\[25pt] &= \ \dfrac{4}{27}\end{align*} eşitligi sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu $<1$ olduğundan dolayı $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(2n)!\cdot (n+1)!}{(3n+1)!}$$ toplamı, oran testi gereği, yakınsar.