Fikir:
Oran testi ile sonuca varmaya çalışacağız.
Tanımlama:
$a_n=\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}$ olarak tanımlayalım.
Oran limiti:
Oran testi için limit alırsak \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| \ &= \ \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{\dfrac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}}{\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}}\right| \\[15pt] &=\ \lim_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} \\[15pt] &=\ \lim_{n\to\infty} \dfrac{(1+1/n)^2}{(2+1/n)(2+2/n)} \\[15pt] &=\ \dfrac{(1+0)^2}{(2+0)(2+0)} \\[15pt] &= \ \dfrac14\end{align*} eşitligi sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu $<1$ olduğundan dolayı $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(n!)^2}{(2n)!}$$ toplamı, oran testi gereği, yakınsar.