Fikir ve analiz:
Problemi $t=1-2^x$ dönüşümü ile $$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{t^n}{3^n\cdot n^3}$$ olarak düşüneceğiz ve bu problemi ise iki aşamada çözeceğiz.
- İlk aşamada oran testi ile hangi değerler için yakınsadığını ve ıraksadığını, ilgili limit değeri $1$ olmadığı durumlar için, söyleyeceğiz.
- İkinci aşamada ise ilgili limit değerinin $1$ olduğu $x$ değerlerini için toplamın yakınsaklığını oran testinden farklı yöntemlerle inceleyeceğiz.
Birinci aşama - Oran testi ile gelen bilgi:
Oran testi için limit:
Oran testini ile ilgili limiti alırsak \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}\left|\dfrac{\dfrac{t^{n+1}}{3^{n+1}\cdot (n+1)^{3}}}{\dfrac{t^n}{3^n\cdot n^3}}\right| &= \lim\limits_{n \to \infty}\left(|t|\cdot\dfrac13 \cdot \dfrac{n^3}{(n+1)^3}\right)\\[15pt] &= \lim\limits_{n \to \infty}\left(|t|\cdot\dfrac13\cdot \left( \dfrac{1}{1+\frac1n}\right)^3\right)\\[15pt]&= |t|\cdot\dfrac13\cdot \left(\frac{1}{1+0}\right)^3\\[15pt]&= \frac13|t|\end{align*}eşitliği sağlanır.
Oran testi sonucu:
Yakınsaklık:
$\left|t\right|/3<1$ ise, yani $$(-3,3)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, yakınsaktır.
Iraksaklık:
$\left|t\right|/3>1$ ise, yani $$x\in \left(-\infty,-3\right)\bigcup\left(3,\infty\right)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, ıraksaktır.
Testin bilgi vermediği noktalar:
$\left|t\right|/3=1$ ise, yani $$x=-3 \ \ \ \text{ya da} \ \ \ x=3$$ ise oran testi bize bir bilgi vermez.
İkinci aşama - Oran testinin bilgi vermediği noktaları inceleme:
Sağ belirsiz noktanın incelenmesi:
$t=3$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$$ toplamı olur.
Toplamın yakınsaklığı:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^3}$$ toplamı, $p=3>1$ olduğundan, $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.
Sağ belirsiz noktanın incelenmesi:
Bu nokta için ilgilenmemiz gereken toplam:
$t=-3$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^3}$$ toplamı olur.
Fikir:
Üstte gösterdiğimiz üzere bu toplam mutlak yakınsaktır.
Mutlak alma:
Terimlerin mutlakları toplamı ile ilgilenirsek bu toplam $$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^3}\right|=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$$ toplamı olur.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^3}$$ toplamı, mutlak yakınsaklık savı gereği, yakınsar.
t için sonuç:
$\left.\left[-3,3\right.\right]$ aralığındaki $t$ değerleri için $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{3^n\cdot n^3}$$ toplamı yakınsar ve bu aralık dışında ıraksar.
t aralığı ile x değerlerini elde etme:
\begin{align*}1-2^x\in \left.\left[-3,3\right.\right] &\iff 2^x-1\in \left.\left[-3,3\right.\right]\\[7pt] &\iff 2^x \in \left.\left[-2,4\right.\right]\\[7pt] &\iff 2^x \in \left.\left(0,4\right.\right]\\[7pt] &\iff x \in \left.\left(-\infty,2\right.\right]\end{align*} sağlanır.
x için sonuç:
$\left.\left(-\infty,2\right.\right]$ aralığındaki $x$ değerleri için $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{(1-2^x)^{n}}{3^n\cdot n^3}$$ toplamı yakınsar ve bu aralık dışında ıraksar.