Fikir ve analiz:
Bu problemi iki aşamada çözeceğiz.
- İlk aşamada oran testi ile hangi değerler için yakınsadığını ve ıraksadığını, ilgili limit değeri $1$ olmadığı durumlar için, söyleyeceğiz.
- İkinci aşamada ise ilgili limit değerinin $1$ olduğu $x$ değerlerini için toplamın yakınsaklığını oran testinden farklı yöntemlerle inceleyeceğiz.
Birinci aşama - Oran testi ile gelen bilgi:
Oran testi için limit:
Oran testini ile ilgili limiti alırsak \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}\left|\cfrac{\frac{(n+1)(1-x)^{n+1}}{3^{n+1}(n+3)}}{\frac{n(1-x)^n}{3^n(n+2)}}\right| \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(\frac13|x-1|\cdot \dfrac{n+1}{n}\cdot \dfrac{n+2}{n+3}\right)\\[15pt]&= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(\frac13|x-1|\cdot (1+n^{-1})\cdot \dfrac{1+2n^{-1}}{1+3n^{-1}}\right)\\[15pt] &=\ \frac13|x-1|\cdot (1+0)\cdot \frac{1+ 0}{1+ 0}\\[15pt] &=\ \frac13|x-1| \end{align*}eşitliği sağlanır.
Oran testi sonucu:
Yakınsaklık:
$\frac13|x-1|<1$ ise $$x\in \left(1-3,1+3\right)=\left(2,4\right)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, yakınsaktır.
Iraksaklık:
$\frac13|x-1|>1$ ise, yani $$x\in \left(-\infty,-2\right)\bigcup\left(4,\infty\right)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, ıraksaktır.
Testin bilgi vermediği noktalar:
$\frac13|x-1|=1$ ise, yani $$x=-2 \ \ \ \text{ya da} \ \ \ x=4$$ ise oran testi bize bir bilgi vermez.
İkinci aşama - Oran testinin bilgi vermediği noktaları inceleme:
Sol belirsiz noktanın incelenmesi:
$x=-2$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+2}$$ toplamı olur.
Toplamın ıraksaklığı:
Terim limiti$$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{n+2}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{1+2n^{-1}}=1\ne 0$$ olduğundan Iraksaklık testi gereği $$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n+2}$$ toplamı ıraksar.
Sağ belirsiz noktanın incelenmesi:
Bu nokta için ilgilenmemiz gereken toplam:
$x=4$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nn}{n+2}$$ toplamı olur.
Toplamın ıraksaklığı:
Terim mutlağının limiti $$\lim\limits_{n \to \infty}\left|\frac{(-1)^nn}{n+2}\right|=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{n+2}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{1+2n^{-1}}=1\ne 0$$ olduğundan terim limiti sıfır olmaz, bu nedenle, Iraksaklık testi gereği $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nn}{n+2}$$ toplamı ıraksar.
Sonuç:
$(-2,4)$ aralığındaki $x$ değerleri için $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n(1-x)^n}{3^n(n+2)}$$ toplamı yakınsar ve bu aralık dışında ıraksar.