Fikir ve analiz:
Problemi $t=3^x$ dönüşümü ile $$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{t^n}{n^3+3}$$ olarak düşüneceğiz ve bu problemi ise iki aşamada çözeceğiz.
- İlk aşamada oran testi ile hangi değerler için yakınsadığını ve ıraksadığını, ilgili limit değeri $1$ olmadığı durumlar için, söyleyeceğiz.
- İkinci aşamada ise ilgili limit değerinin $1$ olduğu $x$ değerlerini için toplamın yakınsaklığını oran testinden farklı yöntemlerle inceleyeceğiz.
Sonrasında $t$ için edindiğimiz bilgi ile $x$ için sonuca varacağız.
Birinci aşama - Oran testi ile gelen bilgi:
Oran testi için limit:
Oran testini ile ilgili limiti alırsak \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}\left|\dfrac{\dfrac{t^{n+1}}{(n+1)^3+3}}{\dfrac{t^n}{t^3+3}}\right| \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(|t|\cdot \dfrac{n^3+3}{(n+1)^3+3}\right)\\[15pt]&= \ \lim\limits_{n \to \infty}\left(|t|\cdot \dfrac{1+\frac3{n^3}}{\left(1+\frac1n\right)^3+\frac3{n^{3}}}\right)\\[15pt] &=\ |t|\cdot\frac{1+0}{(1+0)^3+0}\\[15pt] &=\ |t| \end{align*}eşitliği sağlanır.
Oran testi sonucu:
Yakınsaklık:
$|t|<1$ ise, yani $$t\in \left(-1,1\right)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, yakınsaktır.
Iraksaklık:
$|t|>1$ ise, yani $$t\in \left(-\infty,-1\right)\bigcup\left(1,\infty\right)$$ ise verilen toplam, oran testi gereği, ıraksaktır.
Testin bilgi vermediği noktalar:
$|t|=1$ ise, yani $$t=-1 \ \ \ \text{ya da} \ \ \ t=1$$ ise oran testi bize bir bilgi vermez.
İkinci aşama - Oran testinin bilgi vermediği noktaları inceleme:
Sağ belirsiz noktanın incelenmesi:
$t=1$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3+3}$$ toplamı olur.
Limit karşılatırma testi için limit:
Toplamımıza iç terimi $1/n^3$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \frac{1}{n^3+3}}{\dfrac1{n^3}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{1+\frac3{n^3}} \\[15pt] &= \ \frac1{1+0}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yaptığımız toplamın yakınsaklığı:
$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı, $p=3>1$ olduğundan, $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.
Toplamın yakınsaklığı:
Üst limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3+3}$$ toplam, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.
Sol belirsiz noktanın incelenmesi:
Bu nokta için ilgilenmemiz gereken toplam:
$t=-1$ için toplamımız $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^3+3}$$ toplamı olur.
Fikir:
Üstte gösterdiğimiz üzere bu toplam mutlak yakınsaktır.
Mutlak alma:
Terimlerin mutlakları toplamı ile ilgilenirsek bu toplam $$\sum_{n=1}^\infty \left|\frac{(-1)^n}{n^3+3}\right|=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3+3}$$ toplamı olur.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^3+3}$$ toplamı, mutlak yakınsaklık savı gereği, yakınsar.
t için sonuç:
$\left.\left[-1,1\right.\right]$ aralığındaki $t$ değerleri için $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n^3+3}$$ toplamı yakınsar ve bu aralık dışında ıraksar.
t aralığı ile x değerlerini elde etme:
$$3^x\in \left.\left[-1,1\right.\right] \iff x \in \left.\left(-\infty,0\right.\right]$$ sağlanır.
x için sonuç:
$\left.\left(-\infty,0\right.\right]$ aralığındaki $x$ değerleri için $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{3^{nx}}{n^3+3}$$ toplamı yakınsar ve bu aralık dışında ıraksar.