Fikir:
Kuvvet toplamı bilindik $1/(1-t)$ formuna getirerek sonuca ulaşacağız.
Yöntem:
- İfadeyi $x/9$ parantezine ifadeyi $$\dfrac x9\cdot\dfrac1{1+(2x/3)^2}$$ formunu getireceğiz.
- İifadeyi $$\dfrac x9\cdot\dfrac1{1-(-(2x/3)^2)}$$ formuna getirerek, $t=-(2x/3)^2$ olarak, bilindik kuvvet toplamını kullanacağız.
Bilindik toplam:
Her $|t|<1$ için $$\dfrac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^\infty t^n$$ eşitliği sağlanır.
Bilindik hale getirme:
İfademizi düzenlersek \begin{align*}\dfrac{x}{9+4x^2}\ &= \ \dfrac{x}{9}\cdot \dfrac{1}{1+(2x/3)^2}\\[15pt] &= \ \dfrac{x}{9}\cdot \dfrac{1}{1-(-(2x/3)^2)}\end{align*}eşitliği sağlanır.
Sonuç:
$|-(2x/3)^2|<1$, yani $|x|<3/2$, olduğunda \begin{align*}\dfrac{x}{9+4x^2}\ &= \ \dfrac{x}{9}\cdot \dfrac{1}{1-(-(2x/3)^2)}\\[15pt] &= \ \dfrac{x}{9}\sum_{n=0}^\infty(-(2x/3)^2)^n\\[15pt] &= \ \sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n2^{2n}}{3^{2n+2}}x^{2n+1}\end{align*} eşitliği sağlanır.