Fikir ve yöntem:
Kuvvet toplamı bilindik $1/(1-t)$ integrali ile ilişkilendirerek sonuca ulaşacağız.
- İntegrali $-\ln(1-t)$ olur.
- $t=-x^2/9$ dönüşümü yaparak ve
- eksilisine $\ln 9$ ekleyerek sonuca ulaşabiliriz.
Bilindik toplam:
Her $|t|<1$ için $$\dfrac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^\infty t^n$$ eşitliği sağlanır.
İntegrali:
Her $|t|<1$ için $$-\ln(1-t)=\int_0^t\dfrac{1}{1-u}\ du=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{t^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{t^{n}}{n}$$ eşitliği sağlanır.
Verilen ifadeyi düzenleme:
İfademizi düzenlersek \begin{align*} \ln(9+x^2)\ &= \ \ln(9\cdot (1-(-x^2/9)))\\[15pt] &= \ \ln 9+\ln (1-(-x^2/9))\end{align*}eşitliği sağlanır.
Sonuç:
$|-x^2/9|<1$, yani $|x|<3$, olduğunda \begin{align*}\ln(9+x^2)\ &= \ \ln 9+\ln (1-(-x^2/9)) \\[15pt] &= \ \ln 9-\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-x^2/9)^{n}}{n}\\[15pt] &= \ \ln 9+\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n+1}}{n\cdot 9^n}x^{2n}\end{align*} eşitliği sağlanır.
Not:
Bu toplam $x=-3$ için ıraksarken $x=3$ için, almaşık toplam testi gereği, yakınsar. Bu nedenle yakınsaklık aralığı $(-3,3]$ olur.