Fikir ve analiz:
Kuvvet toplamı bilindik $1/(1-t)$ ile ilişkilendirerek sonuca ulaşacağız.
- $t=-x^2$ dönüşümü yaparak ve
- $1+x$ ile çarparak sonuca ulaşabiliriz.
Bilindik toplam:
Her $|t|<1$ için $$\dfrac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^\infty t^n$$ eşitliği sağlanır.
Verilen ifadeyi düzenleme:
İfademizi düzenlersek \begin{align*}\dfrac{1+x}{1+x^2}\ &= \ (1+x)\cdot \dfrac{1}{1-(-x^2)}\end{align*}eşitliği sağlanır.
Sonuç:
$|-x^2|<1$, yani $|x|<1$, olduğunda \begin{align*}\dfrac{1}{1+x^2}\ &= \ (1+x)\cdot \dfrac{1}{1-(-x^2)}\\[15pt] &= \ (1+x)\cdot \sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n\\[15pt] &= \ (1+x)\cdot \sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}\\[15pt] &= \ \sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}+x\cdot\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n} \\[15pt] &= \ \sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}+\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n+1} \\[15pt] &= \ \sum_{n=0}^\infty(-1)^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}x^{n} \end{align*} eşitliği sağlanır. (Burada $\lfloor . \rfloor$ alt tam değer fonksiyonunu temsil eder.)