Fikir ve yöntem:
Kuvvet toplamı bilindik $1/(1-t)$ türevi ile ilişkilendirerek sonuca ulaşacağız.
- Türevi $1/(1-t)^2$ olur.
- $t=-x/2$ dönüşümü yaparak ve
- $1/4$ ile çarparsak sonuca ulaşabiliriz.
Bilindik toplam:
Her $|t|<1$ için $$\dfrac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^\infty t^n$$ eşitliği sağlanır.
Türevi:
Her $|t|<1$ için $$\dfrac{1}{(1-t)^2}=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{1-t}\right)=\sum_{n=1}^\infty nt^{n-1}$$ eşitliği sağlanır.
Verilen ifadeyi düzenleme:
İfademizi düzenlersek \begin{align*}\dfrac{1}{(2+x)^2}\ &= \ \dfrac{1}{2^2}\cdot \dfrac{1}{(1+(x/2))^2}\\[15pt] &= \ \dfrac{1}{2^2}\cdot \dfrac{1}{(1-(-x/2))^2}\end{align*}eşitliği sağlanır.
Sonuç:
$|-x/2|<1$, yani $|x|<2$, olduğunda \begin{align*}\dfrac{1}{(2+x)^2}\ &= \ \dfrac{1}{2^2}\cdot \dfrac{1}{(1-(-x/2))^2}\\[15pt] &= \ \dfrac{1}{2^2}\sum_{n=1}^\infty n(-x/2)^{n-1}\\[15pt] &= \ \sum_{n=1}^\infty\dfrac{n\cdot (-1)^{n-1}}{2^{n+1}}x^{n-1}\\[15pt] &= \ \sum_{n=0}^\infty\dfrac{(n+1)\cdot (-1)^{n}}{2^{n+2}}x^{n}\end{align*} eşitliği sağlanır.