Fikir ve yöntem:
Kuvvet toplamı bilindik $1/(1-x)$ türevi ile ilişkilendirerek sonuca ulaşacağız.
- Türevi $1/(1-x)^2$ olur.
- $x$ ile çarparak sonucu elde ederiz.
Bilindik toplam:
Her $|x|<1$ için $$\dfrac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$$ eşitliği sağlanır.
Türevi:
Her $|x|<1$ için $$\dfrac{1}{(1-x)^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{1-x}\right)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}$$ eşitliği sağlanır.
Sonuç:
Her $|x|<1$ için \begin{align*}\dfrac{x}{(1-x)^2} \ &=\ x\cdot \dfrac1{(1-x)^2}\\[15pt] &= \ x\cdot \sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}\\[15pt] &= \ \sum_{n=1}^\infty nx^{n}\end{align*} eşitliği sağlanır.