Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
- İki küp farkı olarak terimi $(\sqrt[3]{n^3+1})^2+(\sqrt[3]{n^3+1})n+n^2$ ile çarp böl yaparsak
- terimin $$\dfrac1{(\sqrt[3]{n^3+1})^2+(\sqrt[3]{n^3+1})n+n^2}$$ ile eşit olduğunu görürüz.
- Toplamı (limitsel olarak) $1/n^{2}$ terimli $p$-toplam ile ilişkilendirebiliriz.
Limit alma:
Toplamımıza iç terimi $1/n^{2}$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım.
İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\sqrt[3]{n^3+1}-n}{\dfrac{1}{n^{2}}} &= \lim\limits_{n\to \infty}\left[ n^{2}\left(\sqrt[3]{n^3+1}-n\right)\right] \\[15pt]&= \lim\limits_{n\to \infty} \left[n^{2}\left(\sqrt[3]{n^3+1}-n\right)\frac{(\sqrt[3]{n^3+1})^2+(\sqrt[3]{n^3+1})n+n^2}{(\sqrt[3]{n^3+1})^2+(\sqrt[3]{n^3+1})n+n^2} \right] \\[15pt]&= \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{n^{2}}{(\sqrt[3]{n^3+1})^2+(\sqrt[3]{n^3+1})n+n^2} \\[15pt]&= \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1}{\sqrt[3]{(1+n^{-3}})^2+\sqrt[3]{1+n^{-3}}+1} \\[15pt]&= \dfrac{1}{(\sqrt[3]{1+0})^2+\sqrt[3]{1+0}+1} \\[15pt]&= \dfrac13\end{align*}eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığısaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsar.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\sqrt[3]{n^3+1}-n\right)$$ toplamı yakınsak olur.