Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Pay $1$ olduğundan kendisi basit bir biçimde duruyor.
- Toplamı basitleştirmek istersek paydadaki en güçlü terim olan $n^3$ ile ilgilenmeliyiz.
- Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı terimleri $1/n^3$ olan toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.
Bu ilişkilendirmeyi direkt ya da limit karşılaştırma testi ile yapabiliriz. Bu başlık altında limit karşılaştırma testini uygulayacağız.
Limit karşılaştırma testi:
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamaya çalışalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{1}{n^3+\sqrt[3]{n}}}{\dfrac1{n^3}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^3}{n^3+\sqrt[3]{n}} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{1+n^{-8/3}}\\[15pt] &= \ \frac{1}{1+0}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=3> 1$ olduğundan$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^3}$$ toplamı $p$-seri testi gereği yakınsaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3+\sqrt[3]{n}}$$ toplamız, limit karşılaştırma testi gereği, yakınsak olur.