Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplam terimini incelersek
- payda bulunan $\arctan n$ sınırlı ve limit $\pi/2$ olan bir ifade ve
- paydasındaki en güçlü ifade ise $\sqrt{n^2}=n$.
- Bu ilişkilendirme ile toplam limitsel olarak terimi $1/n$ olan toplam ile ilişkili olur.
Limit alma:
Toplamımıza iç terimi $1/n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamak uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek\begin{align*}\lim\limits_{n\to \infty} \frac{\frac{\arctan n}{\sqrt{1+n^2}}}{n^{-1}}&= \lim\limits_{n\to \infty} \frac{\arctan n}{n^{-1}\cdot \sqrt{1+n^2}}\\[15pt]&= \lim\limits_{n\to \infty} \frac{\arctan n}{\sqrt{n^{-2}+1}}\\[15pt]&=\frac{\pi/2}{\sqrt{0+1}}\\[15pt]&= \frac\pi2\end{align*}eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
$p=1\le 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1n$$ toplamı $p$-toplam testi gereği ıraksar.
Toplamın ıraksaklığı:
Bu toplam ıraksak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\arctan n}{\sqrt{1+n^2}}$$ toplamı ıraksak olur.