Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Pay $n$ olduğundan kendisi basit bir biçimde duruyor.
- Toplamı basitleştirmek istersek paydada bulunan kök içerisindeki en güçlü terim olan $n^3$ ile ilgilenmeliyiz.
- Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı terimleri $n/\sqrt{n^3}$, yani $1/\sqrt{n}$, olan toplam ile ilişkilendirmiş oluruz.
Limit karşılaştırma testi:
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $1/\sqrt{n}$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{n}{\sqrt{(n+1)(n+2)(n+3)}}}{\dfrac1{\sqrt n}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^{3/2}}{\sqrt{(n+1)(n+2)(n+3)}} \\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{\left(1+\dfrac1n\right)\left(1+\dfrac2n\right)\left(1+\dfrac3n\right)}}\\[15pt] &= \ \frac{1}{\sqrt{(1+0)(1+0)(1+0)}}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
$p=1/2 \leq 1$ olduğundan$$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{\sqrt n}$$ toplamı $p$-seri testi gereği ıraksar.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Bu limitin sonucu ile pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{\sqrt{(n+1)(n+2)(n+3)}}$$ toplamı, limit karşılaştırma testi gereği, ıraksak olur.