Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
- Toplamın terimini aynı payda altında toplayarak ya da (buna gerek duymadan)
toplanan terim içerisindeki en baskın terin olan $1/\sqrt n$ ile ilgilenerek - toplamı $1/\sqrt n$ terimli $p$-toplam ile ilişkilendirebiliriz.
Limit alma:
Toplamımıza iç terimi $1/\sqrt n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulayalım.
İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt n}-\dfrac{1}{n}}{\dfrac1{\sqrt n}}&= \lim\limits_{n\to \infty} \left(1-\frac{1}{\sqrt n}\right)\\[15pt]&= 1-0\\[15pt]&= 1\end{align*}eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığısaklığı:
$p=1/2\le 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{1/2}}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği ıraksar.
Toplamın ıraksaklığı:
Bu toplam ıraksak olduğundan, limit karşılaştırma testi gereği, pozitif terimli $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{\sqrt n}-\frac{1}{n}\right)$$ toplamı ıraksak olur.