Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $1-10^{^-n}<1$ olduğundan istenilen toplamı ıraksak $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$ toplamı ile alttan sınırlamış oluruz.
Direkt karşılaştırma testi için aday:
Her $n\ge 1$ pozitif tam sayısı için $1-10^{-n}\le 1$ eşitsizliği sağlandığından ve üssel fonksiyonlar ($a>1$ için $a^x$) artan olduğundan $$0< n^{1-10^{-n}} \le n$$ ve dolayısıyla $$0 < \dfrac1n<\dfrac1{n^{1-10^{-n}}}$$ eşitsizlikleri sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın ıraksaklığı:
$p=1\le 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği ıraksaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın ıraksaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac1{n^{1-10^{-n}}}$$ toplamı ıraksak olur.