Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Her $n$ pozitif tam sayısı için $3-\sin n>3-1=2$ olduğundan istenilen toplamı yakınsak $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$ toplamı ile üstten sınırlamış oluruz.
Direkt karşılaştırma testi için aday:
Her $n\ge 1$ pozitif tam sayısı için $3-\sin n\ge 3-1=2$ eşitsizliği sağlandığından ve üssel fonksiyonlar ($a>1$ için $a^x$) artan olduğundan $$0< n^2 \le n^{3-\sin n}$$ ve dolayısıyla $$0 <\dfrac1{n^{3-\sin n}}< \dfrac1{n^2}$$ eşitsizlikleri sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac1{n^{3-\sin n}}$$ toplamı yakınsak olur.