Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Toplamı basitleştirmek istersek paydaki en güçlü terim olan $2^n$ ve
- paydadaki en güçlü terim olan $3^n$ ile ilgilenmeliyiz.
($\lim_{n\to \infty} 3n/2^n=0$ ve $\lim_{n\to \infty} 2n/3^n=0$) - Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n}=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^n$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.
Limit karşılaştırma testi:
Limite bakma:
Toplamımıza iç terimi $(2/3)^n$ olan toplam ile limit karşılaştırma testi uygulamaya çalışalım. İç terimlerin limitini incelersek \begin{align*}\lim_{n \to \infty}\dfrac{ \dfrac{3n+2^n}{2n+3^n}}{\dfrac{2^n}{3^n}} \ &= \ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{3\cdot \frac{n}{2^n}+1}{2\cdot \frac{n}{3^n}+1} \\[15pt] &= \ \frac{3\cdot 0+1}{2\cdot 0+1}\\[15pt] &= \ 1\end{align*} eşitliği sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$\left|\dfrac23\right|<1$ eşitsizliği sağlandığından geometrik toplam olan $$2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^n$$ toplamı yakınsaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Yukarıdaki eşitsizliği kullanırsak, karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{3n+2^n}{2n+3^n}$$toplamı da yakınsak olur.
Kullanılan limit:
$a> 1$ olmak üzere $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{a^n}=\lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{a^x}\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]} \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{\ln a\cdot a^x}=0$$ eşitliği sağlanır. (Biz bunu $a=2$ ve $a=3$ için kullandık.)