Fikir:
Verilen toplamın değerini geometrik, teleskopik ya da kuvvet serileri kullanarak elde etmeye çalışacağız.
Yöntem:
Verilen toplamın terimini analiz etmeye çalışalım.
- Terimleri $$\dfrac{(-1)^2\cdot 2^4}{3^6}\cdot \left(-\dfrac{2^2}{3^3}\right)^{n-1}$$ olarak görebiliriz.
- Bu da bize geometrik toplam yolu ile sonuca ulaştırır.
Geometrik toplam hesaplaması:
$|r|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=1}^\infty r^{n-1}\ =\ \dfrac{1}{1-r}$$ eşitliği sağlanır.
Toplamı geometrik olarak yazma:
\begin{align*}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{2^{2n+2}}{3^{3n+3}}\ &= \ \sum_{n=1}^\infty (-1)^2\cdot(-1)^{n-1}\cdot \dfrac{2^4\cdot 2^{2n-2}}{3^6\cdot 3^{3n-3}}\\[15pt] &= \ \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^2\cdot 2^4}{3^6}\cdot \left(-\dfrac{2^2}{3^3}\right)^{n-1}\\[15pt] &= \ \sum_{n=1}^\infty \dfrac{2^4}{3^6}\cdot \left(-\dfrac{2^2}{3^3}\right)^{n-1}\end{align*}eşitliği sağlanır.
Toplamın değeri:
$\left|-\frac{2^2}{3^3}\right|=4/27<1$ olduğundan \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{2^{2n+2}}{3^{3n+3}} \ &= \ \sum_{n=1}^\infty \dfrac{2^4}{3^6}\cdot \left(-\dfrac{2^2}{3^3}\right)^{n-1}\\[15pt] &= \ \frac{2^4}{3^6}\cdot \frac{1}{1-\left(-\dfrac{2^2}{3^3}\right)}\\[15pt] &= \ \frac{2^4}{3^3\cdot (3^3+2^2)}\\[15pt] &= \ \frac{16}{27\cdot 31}\\[15pt] &= \ \frac{16}{837}\end{align*} eşitliğini elde ederiz.