Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Toplamın içerisindeki ifadeyi daha basit bir biçimde görmeye çalışalım.
- Pay $1$ olduğundan kendisi basit bir biçimde duruyor.
- Toplamı basitleştirmek istersek paydadaki en güçlü terim olan $2^n$ ile ilgilenmeliyiz. ($2^n$ limitsel olarak $3$'ten kuvvetlidir. $\lim_{n\to \infty} 3/2^n=0$.)
Bu şekilde bir ilişkilendirme ile istenilen toplamı geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$$ toplamı ile ilişkilendirmiş oluruz.
Bu ilişkilendirmeyi direkt ya da limit karşılaştırma testi ile yapabiliriz. Bu başlık altında direkt karşılaştırma testini uygulayacağız.
Direkt karşılaştırma testi:
Karşılaştırma için uygun bir eşitsizlik bulma:
Her $n\ge 3$ pozitif tam sayısı için $2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}>3$ eşitsizliği sağlandığından $2^n-3>2^{n-1}>0$ eşitsizliği sağlanır ve $$0 \leq \frac{1}{2^n-3} \leq \frac{1}{2^{n-1}}$$ eşitsizliğini elde ederiz.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$\left|\dfrac12\right|<1$ eşitsizliği sağlandığından geometrik toplam olan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$ toplamı yakınsaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Yukarıdaki eşitsizliği kullanırsak, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n-3}$$toplamı yakınsak olur.