Fikir:
Verilen toplamın yakınsaklığını ya da ıraksaklığını bildiğimiz bir toplam ile ilişkilendirerek bulmaya çalışacağız.
Analiz:
Her $n\ge e^2$ pozitif tam sayısı için $\ln n\ge \ln(e^2)=2$ olduğundan istenilen toplamı yakınsak $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$ toplamı ile (belirli bir yerden sonra) üstten sınırlamış oluruz.
Direkt karşılaştırma testi için aday:
$\ln$ artan bir fonksiyon olduğundan her $n\ge e^2$ pozitif tam sayısı için $$\ln n\ge \ln(e^2)=2$$ eşitsizliği sağlanır.
Ayrıca üssel fonksiyonlar ($a>1$ için $a^x$) artan olduğundan $$0< n^2 \le n^{\ln n}$$ ve dolayısıyla $$0 <\dfrac1{n^{\ln n}}\le \dfrac1{n^2}$$ eşitsizlikleri sağlanır.
Karşılaştırma yapacağımız toplamın yakınsaklığı:
$p=2> 1$ olduğundan $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}$$ toplamı $p$-toplam testi gereği yakınsaktır.
Karşılaştırma sonucu istediğimiz toplamın yakınsaklığı:
Bu toplam yakınsak olduğundan, direkt karşılaştırma testi gereği, $$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac1{n^{\ln n}}$$ toplamı yakınsak olur.