Fikir:
Oran testi ile sonuca varmaya çalışacağız.
Tanımlama:
$a_n=\dfrac{n!}{n^n}$ olarak tanımlayalım.
Oran limiti:
Oran testi için limit alırsak \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| \ &= \ \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\dfrac{n!}{n^n}}\right| \\[15pt] &=\ \lim_{n\to\infty}\dfrac{n^n}{(n+1)^n} \\[15pt] &=\ \lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{-n} \\[15pt] &=\ \lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n\right]^{-1} \\[15pt] &= \ e^{-1}\\[15pt] &= \ \dfrac1e\end{align*} eşitligi sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limitin sonucu $<1$ olduğundan dolayı $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n!}{n^n}$$ toplamı, oran testi gereği, yakınsar.