Fikir:
Verilen toplamın değerini geometrik, teleskopik ya da kuvvet serileri kullanarak elde etmeye çalışacağız.
Yöntem:
Verilen toplamın terimini analiz etmeye çalışalım.
- Payı $5^5$ ile üssel (5^{1/5})^n çarpımı olarak ve
- paydayı $3^3$ ile üssel (3^{1/3})^n çarpımı olarak görebiliriz.
- Bu şekilde toplamı bir (sandart) geometrik toplam olarak ifade edebiliriz.
- ve geometrik toplam yolu ile sonuca ulaşabiliriz.
Geometrik toplam hesaplaması:
$|r|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=1}^\infty r^{n-1}\ =\ \dfrac{1}{1-r}$$ eşitliği sağlanır.
Toplamı hesaplama:
$\left|\frac{5^{1/5}}{3^{1/3}}\right|<1$ olduğundan \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty\dfrac{5^{5+\frac n5}}{3^{3+\frac n3}}\ &= \ \sum_{n=1}^\infty \frac{5^5}{3^3}\left(\frac{5^{1/5}}{3^{1/3}}\right)^{n}\\[10pt] &= \ \sum_{n=1}^\infty \frac{5^{5+\frac15}}{3^{3+\frac13}}\left(\frac{5^{1/5}}{3^{1/3}}\right)^{n-1}\\[10pt] &= \frac{5^{5+\frac15}}{3^{3+\frac13}}\cdot \frac1{1-\frac{5^{1/5}}{3^{1/3}}}\\[10pt] &= \dfrac{5^{5}}{3^{3}}\dfrac{5^{1/3}}{3^{1/3}-5^{1/5}}\end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Gerekli bir eşitsizliğin gösterilmesi:
Pozitif gerçel sayılar üzerinde $x^{1/15}$ artan bir fonksiyondur. Ayrıca $5^3=125$ ve $3^{5}=243$ eşitlikleri sağlandığından $$5^{1/5} =(5^3)^{1/15} < (3^5)^{1/15}=3^{1/3}$$ eşitsizliği sağlanır.