Fikir:
Verilen toplamın değerini geometrik, teleskopik ya da kuvvet serileri kullanarak elde etmeye çalışacağız.
Yöntem:
Verilen toplamın terimini analiz etmeye çalışalım.
- Pay ve payda üssel fonksiyonlar olduğundan
- ifadeyi üssel bir fonksiyon olarak görebiliriz.
- Bu da bize geometrik toplam yolu ile sonuca ulaştırır.
Geometrik toplam hesaplaması:
$|r|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=0}^\infty r^{n}\ =\ \dfrac{1}{1-r}$$ eşitliği sağlanır.
Toplamı geometrik olarak yazma:
$$\sum_{n=0}^\infty\frac{5^{3n}}{3^{5n}}=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{5^{3}}{3^{5}}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{125}{243}\right)^n$$eşitliği sağlanır.
Toplamın değeri:
$\left|\frac{125}{243}\right|<1$ olduğundan \begin{align*}\sum_{n=0}^\infty \frac{5^{3n}}{3^{5n}} \ &= \ \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{125}{243}\right)^n\\[10pt] &= \frac1{1-\frac{125}{243}}\\[10pt] &= \ \frac{243}{118}\end{align*} eşitliğini elde ederiz.