Fikir:
Verilen toplamın değerini geometrik, teleskopik ya da kuvvet serileri kullanarak elde etmeye çalışacağız.
Yöntem:
Verilen toplamın terimini analiz etmeye çalışalım.
- Pay ve payda üssel fonksiyonlar olduğundan
- ifadeyi üssel bir fonksiyon olarak görebiliriz.
- Bu da bize geometrik toplam yolu ile sonuca ulaştırır.
Geometrik toplam hesaplaması:
$|r|<1$ gerçel sayısı için $$\sum_{n=1}^\infty r^{n-1}\ =\ \dfrac{1}{1-r}$$ eşitliği sağlanır.
Toplamı hesaplama:
$\left|\frac3\pi\right|<1$ olduğundan \begin{align*}\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{\pi^n} \ &= \ \sum_{n=1}^\infty \frac3\pi\left(\frac{3}{\pi}\right)^{n-1}\\[10pt] &= \frac3\pi\cdot \frac1{1-\frac3\pi}\\[10pt] &= \ \frac3{\pi-3}\end{align*} eşitliğini elde ederiz.