Fikir ve analiz:
- Toplamın terimlerini $(1-1/n)^n$ dizisinin kuvvetleri
- ve bu dizinin limiti $1/e$.
- Kök testi uygulayarak sonuca ulaşabiliriz.
Kök testi için limit:
Toplamın genel terimine $a_n$ dersek \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}\ &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left|\left(1-\frac1n\right)^{n^2}\right|^{1/n}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left(1-\frac1n\right)^{n}\\[15pt] &= e^{-1}\end{align*} eşitliği sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limit değeri $<1$ olduğundan $$\sum_{n=1}^\infty \left(1-\frac1n\right)^{n^2}$$ toplamı, kök testi gereği, yakınsar.
Kullanılan bilgi:
$a$ bir gerçel sayı olmak üzere $$\lim_{n\to\infty}\left(n+\dfrac an\right)^n =e^a$$ eşitliği sağlanır.
Bu bilgiyi $a=-1$ için kullandık.