Fikir ve analiz:
- Toplamın terimlerini $(2n^2+3)/(3n^2+2)$ dizisinin kuvvetleri
- ve bu dizinin limiti $2/3$.
- Kök testi uygulayarak sonuca ulaşabiliriz.
Kök testi için limit:
Toplamın genel terimine $a_n$ dersek \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}\ &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left|\left(\dfrac{2n^2+3}{3n^2+2}\right)^n\right|^{1/n}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{2n^2+3}{3n^2+2}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{2+3n^{-2}}{3+2n^{-2}} \\[15pt] &= \frac23\end{align*} eşitliği sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limit değeri $<1$ olduğundan $$\sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac{2n^2+3}{3n^2+2}\right)^n$$ toplamı, kök testi gereği, yakınsar.