Fikir ve analiz:
- Toplamın terimlerini $(1-3/(n+2))^n$ dizisinin kuvvetleri
- ve bu dizinin limiti $1/e^3$.
- Kök testi uygulayarak sonuca ulaşabiliriz.
Kök testi için limit:
Toplamın genel terimine $a_n$ dersek \begin{align*}\lim\limits_{n \to \infty}|a_n|^{1/n}\ &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left|\left(\frac{n-1}{n+2}\right)^{n^2}\right|^{1/n}\\[15pt]&= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{n-1}{n+2}\right)^{n}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left(1-\frac3{n+2}\right)^{n}\\[15pt] &= \ \lim\limits_{n \to \infty} \left[\left(1-\frac3{n+2}\right)^{n+2}\cdot \left(1-\frac3{n+2}\right)^{-2}\right]\\[15pt] &= e^{-3}\cdot (1-0)^{-2}\\[15pt] &= e^{-3}\end{align*} eşitliği sağlanır.
Toplamın yakınsaklığı:
Bu limit değeri $<1$ olduğundan $$\sum_{n=2}^\infty \left(\frac{n-1}{n+2}\right)^{n^2}$$ toplamı, kök testi gereği, yakınsar.
Kullanılan bilgi:
$a$ bir gerçel sayı olmak üzere $$\lim_{m\to\infty}\left(m+\dfrac am\right)^m =e^a$$ eşitliği sağlanır.
Bu bilgiyi $m=n+2$ değişimi ile $a=-3$ için kullandık.