Fikir ve analiz:
- $x=\pi/2$ olacak şekilde
toplamımızın terimleri $(-1)^nx^{2n}/(2n)!$ olur. - Bu $\cos x$ ile gelen kuvvet toplamının terimleridir.
Bilindik kuvvet toplamı:
$x\in \mathbb R$ için $$\cos x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$$ eşitliği sağlanır.
İndis düzenleme:
$x\in \mathbb R$ için $$\cos x=1+\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\ \ \ \text{ yani } \ \ \ \cos x-1=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$$ eşitliği sağlanır.
İstenen toplamın değeri:
Bu eşitlik bize toplamın $$\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^n\pi^{2n}}{4^n(2n)!}=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}\left(\frac\pi2\right)^n=\cos(\pi/2)-1=0-1=-1$$ değerine eşit olduğunu verir.