Fikir ve analiz:
- $x=1$ olacak şekilde
toplamımızın terimleri $x^{2n}/(2n)!$ olur. - Bu $e^x$ ile gelen kuvvet toplamının çift kuvvetli terimleridir.
- Bir polinomun/kuvvet toplamının çift terimlerini $(f(x)+f(-x))/2$ ile elde edebiliriz.
- Bu yol ile $(e^x+e^{-x})/2$ toplamı ile ilgilenmeliyiz.
Bilindik kuvvet toplamı:
$x\in \mathbb R$ için $$e^x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n!}x^n$$ eşitliği sağlanır.
Tek terimleri eksileme:
$x\in \mathbb R$ için $$e^{-x}=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n!}(-x)^n=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n}{n!}x^n$$ eşitliği sağlanır.
Tek terimlerimleri yok etme:
$x\in \mathbb R$ için $$\dfrac12(e^x+e^{-x})=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1+(-1)^n}{2\cdot n!}x^n=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{(2n)!}x^{2n}$$ eşitliği sağlanır.
Not: $1+(-1)^n$ ifadesi $n$ tek ise $0$ değerine ve $n$ çift ise $2$ değerine eşit.
İstenen toplamın değeri:
$$\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{(2n)!}=\dfrac12(e^1+e^{-1})=\dfrac{e+e^{-1}}2$$ değerine eşit olduğunu verir.