Fikir ve analiz:
- Payda $n$ yerine $(n-1)+1$ yazarsak
$1/(n-2)!$ ile $1/(n-1)!$ toplamını elde ederiz.
- (Ötelenmiş olarak) terimleri $1/n!$ olan toplamla ilgilenerek
sonuca ulaşabiliriz.
- $x=1$ olacak şekilde
$x^n/n!$ terimli toplamla, yani - $e^x$ ile gelen kuvvet toplamı ile ilgilenmeliyiz.
Bilindik kuvvet toplamı:
$x\in \mathbb R$ için $$e^x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!}$$ eşitliği sağlanır.
Ek olarak:
$x\in \mathbb R$ için $$e^x=1+\sum_{n=1}^\infty\dfrac{x^n}{n!} \qquad \text{ yani } \qquad \sum_{n=1}^\infty\dfrac{x^n}{n!}=e^x-1$$ eşitliği sağlanır.
İstenen toplamın değeri:
\begin{align*}\sum_{n=1}^\infty\dfrac{n}{(n-1)!}\ &= \ 1+\sum_{n=2}^\infty\dfrac{n}{(n-1)!}\\[15pt] &= \ 1+\sum_{n=2}^\infty\dfrac{(n-1)+1}{(n-1)!}\\[15pt] &= \ 1+\sum_{n=2}^\infty\left(\dfrac{1}{(n-2)!}+\dfrac{1}{(n-1)!}\right)\\[15pt] &= \ 1+ \sum_{n=2}^\infty\dfrac{1}{(n-2)!}+ \sum_{n=2}^\infty\dfrac{1}{(n-1)!}\\[15pt] &= \ 1+ \sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n!}+ \sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n!} \\[15pt] &= \ 1+ e^1+(e^1-1)\\[15pt] &= \ 2e\end{align*} değerine eşit olduğunu verir.